Media Pembelajaran Matematika Menara Hanoi

Media pembelajaran sangat berperan penting dalam penyampaian sebuah materi dalam proses belajar-mengajar. Dalam memahami suatu konsep siswa masih harus diberikan kegiatan yang berhubungan dengan benda nyata atau kejadian nyata yang dapat diterima oleh akal siswa. Karena, dalam belajar matematika pengalaman belajar siswa sangatlah penting. Pengalaman tersebut akan sangat mudah dipahami apabila ditunjang dengan alat bantu belajar, agar pemahaman matematika tersebut menjadi konkret. Dengan bantuan media pembelajaran, suatu pelajaran yang terkesan sulit seperti matematika akan lebih hidup dan menarik sehingga paradigma kalau matematika itu selalu identik dengan sulit akan terasa lebih santai dan menyenangkan. Siswa diharapkan untuk lebih mudah memahami sebuah konsep dan dasar sebuah materi pelajaran sehingga siswa memiliki dasar-dasar pemahaman yang kokoh dalam memahami konsep-konsep selanjutnya.

Dalam matematika ada banyak pola dan barisan billangan yang kita jumpai mulai dari tingkat SD yang sederhana sampai SMA bahkan perguruan tinggi. Sungguh tidak lucu rasanya kalau kita begitu sering menemukan dan menggunakan barisan dan pola tersebut tanpa mengetahui prosesnya. Pembuktian langsung dengan menggunakan rumus-rumus mungkin akan sangat membosankan. Untuk itu media alat peraga menara Hanoi ini dapat dimanfaatkan sebagai salah satu alternatif yang dapat digunakan agar suatu materi atau pemahaman bisa masuk ke siswa sehingga dengan mudah dapat dipahami.

Tujuan dari menara Hanoi yaitu melatih kemampuan siswa dalam memecahkan masalah (problem solving), menemukan barisan bilangan dengan cara bermain, menemukan rumus pola bilangan.

Menara Hanoi merupakan salah satu diantara berbagai teka-teki dalam matematika. Teka-teki ini ditemukan ditemukan oleh  Edouard Lucas, ahli matematika Perancis di tahun 1883. Teka-teki ini berdasarkan pada sebuah cerita legenda tentang candi Indian atau menara Benares di India yang memiliki tiga tiang dan salah satu tiangnya terdapat 64 tumpukan cakram emas. Para pendeta mendapat tugas untuk memindahkan cakram emas itu ke tiang yang lain sesuai dengan suatu aturan.Pendeta Brahma, melaksanakan tugas dari peramal di masa lalu, sesuai dengan aturan teka-teki ini. Menurut legenda ini, bila teka-teki ini diselesaikan, dunia akan kiamat. Tidak jelas benar apakah Lucas menemukan legenda ini atau terinspirasi olehnya. Bila legenda ini benar, dan pendeta itu bisa memindahkan satu cakram tiap detik, menggunakan pemindahan paling sedikit, maka akan memakan waktu 2⁶⁴−1 detik atau kurang lebih 584,582 milyar tahun.

            Setiap jenis dari media pembelajaran pasti memiliki kekurangan dan kelebihan. Pada media pembelajaran menara Hanoi Kelebihannya yaitu Memperrmudah dalam hal pemahaman konsep-konsep dalam barisan bilangan dengan cara bermain matematika, Memberikan pengalaman yang efektif bagi siswa dengan berbagai kecerdasan yang berbeda., Memotivasi siswa untuk menyukai pelajaran matematika yakni aspek bilangan, Memberikan kesempatan bagi siswa yang lebih lamban berpikir untuk menyelesaikan permainan ini dengan berhasil, Mempermudah abstraksi siswa. Sedangkan kekurangnnya yaitu Kurangnya efisiensi waktu dalam menggunakan media belajar ini jelas membutuhkan waktu yang relatif lama terlebih apabila ada siswa lamban berfikir, Karena terbuat dari kayu sehingga kemungkinan akan lebih rusak.

            Dengan berbagai macam metode penghitungan dan penelitian, permainan Menara Hanoi ini akhirnya terpecahkan dengan solusi :

“Jika terdapat sejumlah n cakram pada permainan menara hanoi, maka banyaknya perpindahan yang terjadi (tetap mengikuti aturan permainan) hingga semua n cakram sampai di tiang tujuan adalah 2ⁿ − 1 perpindahan.”

Jadi begini, asumsikan bahwa tiang pertama merupakan tiang asal, tiang yang di tengah merupakan tiang bantu, dan yang disebelah kanan merupakan tiang tujuan. Jadi terdapat 4 buah cakram yang terdapat pada tiang asal, yang akan dipindahkan ke tiang tujuan. Cara memindahkannya yaitu dengan memanfaatkan tiang bantu yang ada di tengah. Mulailah memindahkan cakram yang paling atas, yaitu yang paling kecil. Dilanjutkan dengan memindahkan cakram yang paling atas dari tiang asal ke tiang lainnya yang masih kosong. Demikian selanjutnya, anda harus menyusun cakram tersebut mulai yang terbesar diletakkan di bawah, dan semakin ke atas ukuran cakramnya semakin kecil, dengan syarat dalam satu perpindahan hanya satu cakram yang dipindahkan.

Alat Dan Bahan Membuat Menara Hanoi

            Dalam membuat menara hanoi ada alat dan bahan yang harus disediakan terlebih dahulu, yang digunakan dalam pembuatan media menara Hanoi adalah sebagai berikut:

1. Papan triplek
2. Gergaji
3. Amplas
4. Pisau
5. Penggaris
6. Alat tulis
7. Jangka

Langkah Kerja Pembuatan Menara Hanoi

Berikut ini adalah langkah-langkah dalam membuat atau menyusun permainan menara hanoi:

1. Sediakan papan triplek (kira-kira berukuran 20x60cm).
2. Buat sketsa bangun persegi
3. Buat 3 Potong tongkat berbentuk tiang dengan tinggi
4. Buat 7 cakram dengan diameter terbesar 18 cm kemudian 16 cm, 14 cm, 12 cm, 10 cm, 8 cm, dan 6 cm (susunan cakram berbentuk kerucut dengan cakram terkecil berada paling atas)
5. Haluskan dengan amplas

Penggunaan alat peraga menara Hanoi dalam pembelajaran:

a.       Guru dapat menceritakan legenda di India tentang menara Benares sebagai pengantar di awal pembelajaran

b.      Aturan permainan matematis menara hanoi:

1.      Hanya satu cakram yang boleh dipindahkan dalam satu waktu

2.      Setiap perpindahan berupa pengambilan cakram teratas dari satu tiang dan memasukkannya ke tiang lain, di atas cakram lain yang mungkin sudah ada di tiang tersebut

3.      Tidak boleh meletakkan cakram di atas cakram lain yang lebih kecil.

Petunjuk kerja:

1.  Percobaan dapat dimulai dari 1 buah cakram, 2 buah cakram, 3 buah cakram, dan seterusnya sampai dengan 7 cakram.

2.  Setiap pemindahan satu cakram dari satu tiang ke tiang yang lain diperhitungkan sebagai satu langkah perpindahan.

3.      Total pemindahan adalah banyaknya pemindahan minimal.

4.      Untuk memudahkan siswa melakukan penyelidikan, siapkan lembar kerja yang antara lain berisi tabel hasil percobaan, sebagai berikut:

Bila diperhatikan, saat melakukan pemindahan 1 cakram, 2 cakram, dan seterusnya, sebenarnya kita melakukan pemindahan dan penyusunan yang sama berulang-ulang. Untuk memindahkan 2 cakram, perlu memindahkan terlebih dahulu 1 cakram kecil ke tiang singgah lalu memindahkan cakram besar ke tiang tujuan baru memindahkan cakram kecil ke tiang tujuan. Artinya, untuk memindahkan n cakram maka perlu memindahkan (n-1) cakram yang lebih kecil ke tiang singgah, lalu memindahkan 1 kali cakram terbesar ke tiang tujuan, dilanjutkan dengan memindahkan kembali n-1 cakram yang lebih kecil tadi ke tiang tujuan. Dari sini tampak bahwa untuk mendapatkan total pemindahan yang minimal maka diperlukan pemindahan (n-1) cakram dua kali dan ditambah pemindahan cakram terbesar satu langkah. Proses ini disebut dengan proses rekursif.

Siswa sudah mencoba menyelesaikan perpindahan cakram sesuai dengan aturan permainan dan sudah mampu mengisi tabel 1. Siswa juga sudah bisa menerka berapa barisan selanjutnya Selanjutnya karena sasaran permainan matematis kita adalah anak SD maka sekarang saatnya kita arahkan untuk mendapakan sebuah pola

Dengan cara yang menantang dan juga menyenangkan akhirnya siswa mendapatkan pola bilangan 2ⁿ – 1